Полуночные задачи придуманные в часы бессонницы

Первоначально
эта книга называлась “Полуночные задачи,
придуманные бессонными ночами”, однако со
второго издания “бессонные ночи” сменились
“часами бессонницы”.

Это
изменение было внесено для успокоения любезных
друзей, которые в многочисленных письмах
выражали свое сочувствие по поводу плохого
состояния моего здоровья. Они полагали, что я
страдаю хронической бессонницей и рекомендую
математические задачи как средство от этой
изнурительной болезни.

Боюсь,
что первоначальный вариант названия был выбран
необдуманно и действительно допускал
толкование, которое я отнюдь не имел в виду, а
именно, что я часто не смыкаю глаз в течение всей
ночи. К счастью, предположение моих
доброжелателей не отвечает действительности: я
никогда не страдал бессонницей, и если мне и
случалось провести несколько бессонных часов, то
лишь потому, что перед этим я изрядно подремал
вечером. Математические задачи я предлагал не
как средство от бессонницы, а как способ
избавиться от навязчивых мыслей, которые
легко овладевают праздным умом. Надеюсь, что
новое название более ясно выражает тот смысл,
который я намеревался в него вложить.

Мои
друзья полагают, будто я (если
воспользоваться логическим термином) стою перед
дилеммой: либо обречь себя на длинную бессонную
ночь, либо, приняв то или иное лекарство, вынудить
себя заснуть. Насколько я могу судить, опираясь
на собственный опыт, ни одно лекарство от
бессонницы не оказывает ни малейшего действия до
тех пор, пока вы сами не захотите спать. Что же
касается математических выкладок, то они скорее
способны разогнать сон, нежели приблизить его
наступление.

Л. Кзррол

ПРЕДИСЛОВИЕ

Почти
все 72 задачи, собранные в этой книжке, вполне
заслуживают названия “полуночных”: я решал их
“в уме”, лежа в постели в часы бессонницы.
Отдельные задачи были решены при свете дня во
время одиноких прогулок, но и в этих случаях я,
прежде чем делать чертеж или записать хотя бы
единое слово, доводил решение до конца “в уме”.
Обычно я сначала записывал ответ и лишь затем
условие задачи и ее решение. Например, когда я
размышлял над задачей 70, то первая запись
выглядела так: “1) заднее ребро, проходимое
сначала сверху вниз, затем снизу вверх и т. д.; 2) на
расстоянии, равном примерно 0,7 длины ребра
(расстояние отсчитывается от верхней вершины
тетраэдра); 3) около 18° 18′; 4) около 14″. Эти ответы
не совсем правильны, но по крайней мере честны,
ибо они были получены в уме без помощи
карандаша и бумаги. “Хоть плохонький, сударь, да
свой!”

Мотивом,
которым я руководствовался при публикации этих
задач с их решениями, найденными без помощи
карандаша и бумаги силой чистого разума, было отнюдь
не желание продемонстрировать свои
способности к устному счету. Я совершенно уверен
в том, что мои способности в этой области
оставляют желать много лучшего, и найдется
немало математиков, которые сумеют придумать
более короткие и изящные решения, не прибегая к
карандашу и бумаге. Моя книжка предназначается
не для них

. Я адресую ее
гораздо более широкому кругу людей с обыкновенными
математическими способностями, которые время от
времени испытывали потребность чем-то занять
свой ум, но не догадывались воспользоваться
открытым мной источником. Я надеюсь, что мой
пример поощрит их; они, увидев, чего может достичь
после небольшой практики человек средних
математических способностей, попытаются
испробовать свои силы и найдут новое занятие
столь же увлекательным и успокоительным, каким
нашел его я.

Может
быть, определение “успокоительное” в связи с
чисто интеллектуальным занятием звучит
несколько неуместно, но многим из тех, кто знает,
что такое навязчивые мысли, неотступно
преследующие тебя днем и ночью, оно придется по
душе. Не раз говорил я себе, отправляясь спать
после дневных неприятностей и огорчений:
“Хватит! Не буду больше думать об этом! Все
неприятное уже позади. Стоит ли вновь
возвращаться к нему? Подумаю лучше о чем-нибудь
другом!” А через каких-то десять минут я вновь
ловил себя на том, что незаметно вернулся в самую
гущу неприятных воспоминаний и бесцельно мучаю
себя, предаваясь горестным размышлениям о
событиях минувшего дня.

В
настоящее время невозможно (и я думаю, что все
психологи согласятся с этим) никаким усилием
воли выполнить принятое самим собой решение

“Не буду больше думать о том-то и
том-то”. (Свидетельство тому — известная шутка,
которую разыгрывают над ребенком. “Я дам тебе
пенс,— говорят ему,— если ты сможешь выстоять в
углу пять минут, ни разу не подумав о клубничном
варенье!” Ни одно дитя человеческое не способно
выстоять против такого искушения!) Однако вполне
возможно (и я очень рад, что мне довелось узнать
об этом) выполнить решение “Буду думать о
том-то и том-то!” Стоит лишь сосредоточить свое
внимание на избранном объекте, и неприятная тема,
от которой вам хотелось избавиться, практически исчезает
из ваших мыслей. Время от времени она может
возвращаться, чтобы, так сказать, заглянуть к вам
в дверь. Но поскольку она встретит холодный прием
и ей почти не будет уделено внимания, то вскоре
она исчезнет совсем.

Я
рискну на миг обратиться к читателю в более
серьезном тоне и указать на муки разума, гораздо
более тягостные, чем просто назойливые мысли.
Целительным средством от них также служит
занятие, способное поглотить внимание.

Мысли
бывают скептическими, и порой кажется, что они
способны подорвать самую твердую веру. Мысли
бывают богохульными, незванно проникающими в
самые благочестивые души, нечестивыми,
искушающими своим ненавистным присутствием
того, кто дал обет блюсти чистоту. И от всех этих
бед самым действенным лекарством служит
какое-нибудь активное умственное занятие.
Нечистый дух из сказки, приводивший с собой
семерых еще более порочных, чем он сам, духов,
делал так лишь потому, что находил “комнату
чисто прибранной”, а хозяина — праздно сидящим
сложа руки. Если бы его встретил “деловой шум”
активной работы, то такой прием и ему, и
семерым его собратьям пришелся бы весьма не по
вкусу!

Моя
цель (а я намеревался поощрить других) не была бы
достигнута, если бы я, записывая решения,
позволил себе вносить улучшение в ту часть
работы, которая была проделана в уме. Я считал
гораздо более важным зафиксировать полученный
результат в его первозданном виде, чем
приводить более краткие и изящные решения,
получить которые без карандаша и бумаги было бы
намного труднее. Например, при умножении
столбиком (скажем, двух семизначных чисел) на
бумаге сложение промежуточных результатов
удобнее начинать с единиц, выписывая семь
столбиков цифр и складывая их, как обычно. Но
проделать такую операцию

в
уме чрезвычайно трудно (а для меня просто
невозможно). Единственный шанс на успех
заключается, по-видимому, в том, чтобы начать с миллионов
и сгруппировать их подходящим образом, затем
перемножить сотни тысяч, прибавить их к ранее
полученному результату и т. д. Нередко
оказывается, что решение, необычайно легко и
просто получаемое в уме, на. бумаге
становится неуклюжим и длинным.

Когда
я впервые приступил к осуществлению своего
замысла, мне по силам были лишь простые
геометрические задачи, и, даже решая их, я
вынужден был время от времени останавливаться,
чтобы сделать чертеж и разобраться, где “зарыта
собака”. Алгебраических задач я поначалу
старался избегать по простой причине: стоит хотя
бы одному коэффициенту выпасть из памяти, как
решение алгебраической задачи приходится
начинать с самого начала. Но вскоре я преодолел
обе трудности и научился запоминать громоздкие
коэффициенты и удерживать перед своим мысленным
взором сложные чертежи настолько ясно, что мог свободно
переходить от одной их части к другой. Труднее
всего было запоминать буквы на чертежах, и я
научился почти не пользоваться ими, а вместо
этого отличал точки лишь по их расположению.
В моих рукописных заметках к задаче 53 можно найти
следующие строки: “Я никогда не задавал себе
этой задачи до недели, закончившейся 6 апреля 1889
г. Две или три ночи я пытался решить ее в уме, пока,
наконец, не решил в ночь с 6 на 7 апреля. Все
рассуждения я провел в уме, без чернил и бумаги.
Решая задачи, я не обозначал буквами никаких
точек, кроме А, В, С и Р, а, думая о них,
указывал их положение (например, “основание
перпендикуляра, опущенного из точки Р на
ВС”)”.

Если
кто-нибудь из читателей захочет упрекнуть меня в
том, что я действовал слишком однообразно, избрал
область слишком известную и ни разу не рискнул
покинуть торный путь, то я с гордостью укажу на
мою задачу из “трансцендентной теории
вероятности” — области, в которой, по моему
убеждению, даже самым дерзким математикам до сих
пор удалось достичь весьма немногих
результатов. Случайному читателю эта задача
может показаться ненормальной и даже
парадоксальной, но я бы хотел, чтобы он честно
спросил себя: “А разве сама жизнь — не
парадокс?”

Чтобы
читатель мог создать себе некоторое
представление о том, как я придумывал свои
задачи, я приведу “биографию” задачи 63. Ее
история типична для большинства задач.

Началась
история в ночь с 3 на 4 сентября 1890 г. и завершилась
следующей ночью. Незадолго до этого мне пришло в
голову, что область, которую я назову
“геометрией частично правильных тел”, может
быть достаточно интересной. Число правильных тел
вызывающе мало. Безнадежно пытаться найти хоть
один связанный с ними вопрос, который бы не был
уже исчерпывающим образом проанализирован.
Некоторые из “частично правильных” тел
(например, ромбоидальные кристаллы), по-видимому,
можно было бы рассматривать с помощью тех же
методов, что и правильные тела. В то же время в
отличие от правильных тел ничто не мешает
строить новые частично правильные тела.

В
соответствии с этим я придумал тело,
ограниченное сверху и снизу двумя равными и
параллельными квадратами, центры которых
расположены на одной вертикали, причем верхний
квадрат повернут так, что его стороны
параллельны диагоналям нижнего. Затем я
представил себе, что расстояние между верхним и
нижним квадратами увеличивается до тех пор, пока
вершины верхнего квадрата не становятся
вершинами четырех равносторонних треугольников,
основаниями которых служат стороны нижнего
квадрата. Гранями получившегося тела служат два
квадрата и 8 равносторонних треугольников.
Задача, которую я себе поставил, заключалась в
вычислении объема такого тела.

Без
особого труда удалось показать, что расстояние
между квадратами (сторона которых считается
равной 2) равно 2

3/4.
Но когда я попытался вычислить объем с помощью
тригонометрии, меня очень скоро охватило
отчаяние! Я видел, как можно было бы вырезать из середины
тела призму, объем которой вычисляется совсем
просто, но вычисление объема “обрезков”
оставалось для меня непосильной задачей.
Некоторое время спустя мне пришла в голову
счастливая идея воспользоваться аналитической
геометрией и рассматривать каждую грань тела как
основание пирамиды с вершиной в центре тела,
который я выбрал за начало координат. Я сразу же
увидел, что смогу вычислить координаты вершин,
затем вывести уравнения плоскостей, содержащих
грани, и найти расстояния от них до начала
координат, равные высотам вспомогательных
пирамид. Кроме того, стало ясно, что вычисления
достаточно проделать лишь для одной пирамиды,
поскольку они все одинаковы. В первую же ночь мне
удалось вычислить объем, но затем все запуталось,
и я вскоре убедился, что мое решение было
неправильным.

На
следующую ночь я вновь принялся за решение, начав
его с самого начала. Наутро я вспомнил ответ и
сразу же записал его. Что же касается условия
задачи и решения, то я записал их лишь на
следующий день после того, как с удовлетворением
убедился, что доказательство на бумаге
подтверждает результат, полученный ранее во тьме
ночи.

Пользуясь
случаем, я хочу объяснить, почему я избрал для
обозначения синуса и косинуса соответственно
символы

и .

Необходимость
использования каких-то символов для
обозначения синуса и косинуса вряд ли нуждается
в более подробном обосновании, чем использование
знаков + и — для обозначения “плюса” и
“минуса”.

Что
же касается выбранных мной обозначений, то они
заимствованы из старой тригонометрии, в которой
синусы, косинусы и т. д. были реальными линиями.

Так, на приведенном
здесь рисунке (радиус ОР считается равным
единице) отрезок PN есть синус
угла NOP,
а отрезок ON — косинус того же угла.

В
каждом из выбранных мной обозначении я сохранил
полуокружность: в символе я лишь
сдвинул отрезок PN в
середину, а в символе слегка удлинил
отрезок ON, продолжив его
за полуокружность, чтобы мое обозначение
косинуса не смешивали с встречающимся иногда
обозначением для полуокружности.

При
подготовке задач к печати мне и моим друзьям
удалось обнаружить многочисленные и подчас
весьма серьезные ошибки в решениях. Я не льщу
себя надеждой, что нам удалось выловить все
ошибки.

Вполне
возможно, что какие-то ошибки ускользнули от меня
и еще ожидают проницательного взгляда
какого-нибудь критически настроенного читателя.
Я надеюсь, что радость открытия ошибок и
испытанное при этом чувство интеллектуального
превосходства над автором в какой-то мере
вознаградят счастливца за потерю времени и
беспокойство, которое могло доставить ему
внимательное чтение этой книжки.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ЗАДАЧ

Арифметика:

31.

Алгебра

Задачи на составление уравнений: 8, 25, 39,
52, 68.

Ряды: 21, 32. Диофантовы уравнения: 47.

Свойства чисел: 1, 14, 29, 44, 61

.

Теория вероятностей: 5, 10, 16, 19, 23, 27, 38,41, 45,
50, 58, 66.

Чистая геометрия. Планиметрия: 2,

3, 9, 15, 17, 18, 20, 24. 26, 30, 34, 35, 36, 40, 46. 51, 57, 62, 64, 71.

Тригонометрия

На плоскости: 4, 6, 7, 11, 12, 13, 18, 22, 28, 37, 42, 43,
48, 5

4, 55, 56, 57, 60, 65, 69.

В пространстве: 49, 59, 63, 70.

Аналитическая геометрия

На плоскости: 53.

В пространстве: 67.

Дифференциальное исчисление

Максимумы и минимумы:
33.

Трансцендентная теория вероятности: 72.

Глава I

ЗАДАЧИ*

1

Найти общую формулу для двух чисел, сумма
квадратов которых равна 2.

2

В данном треугольнике провести прямую,
параллельную основанию, так, чтобы сумма
отрезков боковых сторон, заключенных между этой
прямой и основанием, была равна основанию.

3

Доказать, что если стороны четырехугольника
проходят через вершины параллелограмма и три
вершины делят проходящие через них стороны
пополам, то и четвертая вершина параллелограмма
также делит проходящую через нее сторону
четырехугольника пополам.

4

В данный остроугольный треугольник вписать
треугольник, стороны которого (при каждой из его
вершин) образуют равные углы со сторонами
данного треугольника.

5

Урна содержит один шар, о котором известно, что
он либо белый, либо черный. В урну кладут белый
шар, после чего ее содержимое перемешивают и
вытаскивают наудачу один шар, который
оказывается белым. Какова после этого
вероятность вытащить белый шар?

6

Даны длины медиан треугольника. Найти стороны и
углы треугольника. 

7

Даны длины двух смежных сторон
четырехугольника и заключенный между ними угол.
Кроме того, известно, что углы четырехугольника,
прилежащие к каждой из этих сторон, прямые. Найти:
1) остальные стороны четырехугольника; 2) его
площадь.

8

Несколько человек сидят по кругу так, что у
каждого из них имеется по одному соседу справа и
слева. Каждый из сидящих располагает
определенным количеством шиллингов. У первого на
1 шиллинг больше, чем у второго, у второго на 1
шиллинг больше, чем у третьего, и т. д. Первый из
сидящих отдает 1 шиллинг второму, второй — 2
шиллинга третьему и т. д. Каждый отдает
следующему на 1 шиллинг больше, чем получил сам,
до тех пор, пока это возможно. В результате у
одного из сидящих шиллингов оказывается в 4 раза
больше, чем у его соседа. Сколько всего было людей
и сколько шиллингов было сначала у самого
бедного из них?”

9

Даны две пересекающиеся прямые и точка внутри
образованного ими угла.
Через эту точку требуется провести две прямые
под прямым углом одна к другой так, чтобы вместе с
данными прямыми и прямой, соединяющей точку
пересечения последних с данной точкой, они
образовывали два равных треугольника.

10

Треугольный бильярдный стол имеет три лузы —
по одной в каждому углу. В одной лузе умещается
лишь один шар, в двух других — по два шара. На
столе находятся 3 шара, в каждом из которых
спрятано по монете. Стол наклоняют так, что все
шары скатываются в один угол, но в какой именно —
неизвестно. Полное математическое ожидание
“начинки” шаров (или шара), попавших в лузу,
составляет 2 шиллинга 6 пенсов*. Монеты какого
достоинства спрятаны в шарах?

…ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ …